题解 货车运输

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给一张图（不一定联通），每条边有边权，Q次询问，查询$(u,v)$两个节点中所有路径中最小值最大的值。

题目有一种想让人二分欲望。但是Q次询问，二分很难处理。

根据Kruskal的思想，如果我们想让两个点路径中最小值最大，我们就不要去走最大生成树以外的点，既然边权更大的边可以让两点联通，我们就不应该走边权小的点，让答案变劣。

所以先跑最大生成树，建新图。

现在就得到了一个森林（原图不一定联通），对每棵树进行LCA预处理，处理出父亲和路径中最小值。

然后就是$O(1)$的查询了。

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#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
namespace Sonoda
{
	template<typename T> void swap(T &a,T &b)
	{
		T t;
		t=a;
		a=b;
		b=t;
	}
	template<typename T> T GCD(T a,T b)
	{
		if(b==0)
		{
			return a;
		}
		return GCD(b,a%b);
	}
	template<typename T>T Qpow(T a,T b,T p)
	{
		T res=1;
		while(b)
		{
			if(b&1)
			{
				res*=a;
				res%=p;
				b--;
			}
			else
			{
				a*=a;
				a%=p;
				b>>=1;
			}
		}
		return res;
	}
	template <typename T> void Ex_GCD(T a,T b,T &x,T &y)
	{
		if(b==0)
		{
			x=1;
			y=0;
			return;
		}
		Ex_GCD(b,a%b,x,y);
		T t=x;
		x=y;
		y=t-a/b*y;
	}
	template<typename T> inline T read()
	{
		T num = 0, w = 1;
		char c = 0;
		while (c != '-' && !isdigit(c)) c = getchar();
		if (c == '-') w = -1, c = getchar();
		while (isdigit(c)) num = num * 10 + c - '0', c = getchar();
		return num * w;
	}
	template<typename T> inline void write(T x)
	{
		if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if (x / 10) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
const int MAXN=80005;
struct AA
{
	int from,to,w;
};
AA aa[MAXN];
bool cmp(const AA &a,const AA &b)
{
	return a.w>b.w;
} 
int father[MAXN];
int Find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=Find(father[x]);
}
void Union(int x,int y)
{
	int r1=Find(x);
	int r2=Find(y);
	if(r1==r2)
	{
		return;
	}
	father[r1]=r2;
}
bool vis[MAXN];
struct EDGE
{
	int _next,to,w;
};
EDGE edge[MAXN];
int head[MAXN],_count;
void Add_Line(const int &a,const int &b,const int &c)
{
	_count++;
	edge[_count]._next=head[a];
	edge[_count].to=b;
	edge[_count].w=c;
	head[a]=_count;
}
int fa[MAXN][30];
int dis[MAXN][30];
int depth[MAXN];
void _Init(int NowNode,int f)
{
	depth[NowNode]=depth[f]+1;
	fa[NowNode][0]=f;
	for(int i=1;(1<<i)<=depth[NowNode];i++)
	{
		fa[NowNode][i]=fa[fa[NowNode][i-1]][i-1];
		dis[NowNode][i]=min(dis[fa[NowNode][i-1]][i-1],dis[NowNode][i-1]);
	}
	for(int i=head[NowNode];i;i=edge[i]._next)
	{
		int NextNode=edge[i].to;
		if(NextNode==f)
		{
			continue;
		}
		dis[NextNode][0]=edge[i].w;
		_Init(NextNode,NowNode);
	}
}
int LCA(int a,int b)
{
	int res=INF;
	if(depth[a]<depth[b])
	{
		Sonoda::swap(a,b);
	}
	for(int i=28;i>=0;i--)
	{
		if(depth[a]-depth[b]>=(1<<i))
		{
			res=min(res,dis[a][i]);
			a=fa[a][i];
		}
	}
	if(a==b)
	{
		return res;
	}
	for(int i=28;i>=0;i--)
	{
		if(fa[a][i]==fa[b][i])
		{
			continue;
		}
		res=min(res,dis[a][i]);
		res=min(res,dis[b][i]);
		a=fa[a][i];
		b=fa[b][i];
	}
	return min(res,min(dis[a][0],dis[b][0]));
}
int main()
{
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	int N=Sonoda::read<int>();
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		father[i]=i;
	}
	int M=Sonoda::read<int>();
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		aa[i].from=Sonoda::read<int>();
		aa[i].to=Sonoda::read<int>();
		aa[i].w=Sonoda::read<int>();
	}
	sort(aa+1,aa+1+M,cmp);
	int book=0;
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		int x=aa[i].from;
		int y=aa[i].to;
		int r1=Find(x),r2=Find(y);
		if(r1!=r2)
		{
			vis[x]=vis[y]=1;
			Union(x,y);
			book++;
			Add_Line(x,y,aa[i].w);
			Add_Line(y,x,aa[i].w);
		}
		if(book==N-1)
		{
			break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		if(!fa[i][0])
		{
			_Init(i,0);
		}
	}
	int Q=Sonoda::read<int>();
	for(int i=1;i<=Q;i++)
	{
		int a=Sonoda::read<int>();
		int b=Sonoda::read<int>();
		if(!vis[a]||!vis[b])
		{
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		int res=LCA(a,b);
		if(res!=INF)
		{
			printf("%d\n",res);
		}
		else
		{
			printf("-1\n");
		}
	}
	return 0;
}

码量有点大，但是确实值得思考一开始最大生成树的性质。