分层图最短路

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分层图一般解决更改K个边权为0的问题。

看例题，如果不知道分层图，这道题难以下手。但是如果知道，这道题就是大水题。

啥是分层图

对于路径上可以免费K条边的最短路。我们把这张图复制K张，新图有$K+1$个原图。然后，对于每两张相同的图之间，若两个点有边，则把上一张图的点连向下一条边，且边权为0。特别地，对于每张图的终点，要向下一张图的终点连边权为0的边（防止前面走的到但后面卡住了即用小于K次免费就可以到终点）。

大致如图。

分层图

看看代码实现吧！

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#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
namespace Sonoda
{
	template<typename T> void swap(T &a,T &b)
	{
		T t;
		t=a;
		a=b;
		b=t;
	}
	template<typename T> T GCD(T a,T b)
	{
		if(b==0)
		{
			return a;
		}
		return GCD(b,a%b);
	}
	template<typename T>T Qpow(T a,T b,T p)
	{
		T res=1;
		while(b)
		{
			if(b&1)
			{
				res*=a;
				res%=p;
				b--;
			}
			else
			{
				a*=a;
				a%=p;
				b>>=1;
			}
		}
		return res;
	}
	template <typename T> void Ex_GCD(T a,T b,T &x,T &y)
	{
		if(b==0)
		{
			x=1;
			y=0;
			return;
		}
		Ex_GCD(b,a%b,x,y);
		T t=x;
		x=y;
		y=t-a/b*y;
	}
	template<typename T> inline T read()
	{
		T num = 0, w = 1;
		char c = 0;
		while (c != '-' && !isdigit(c)) c = getchar();
		if (c == '-') w = -1, c = getchar();
		while (isdigit(c)) num = num * 10 + c - '0', c = getchar();
		return num * w;
	}
	template<typename T> inline void write(T x)
	{
		if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if (x / 10) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
const int MAXN=5000050;
struct EDGE
{
	int _next,to,w;
};
EDGE edge[MAXN];
int _count,head[MAXN];
int dis[MAXN],vis[MAXN];
struct NODE
{
	int dis,pos;
};
NODE heap[MAXN];
int siz;
void Add_Line(const int &a,const int &b,const int &c)
{
	_count++;
	edge[_count]._next=head[a];
	edge[_count].to=b;
	edge[_count].w=c;
	head[a]=_count;
}
void push(NODE x)
{
	siz++;
	heap[siz]=x;
	int NowNode=siz;
	while(NowNode>>1)
	{
		int NextNode=NowNode>>1;
		if(heap[NextNode].dis>heap[NowNode].dis)
		{
			Sonoda::swap(heap[NextNode],heap[NowNode]);
			NowNode=NextNode;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void pop()
{
	Sonoda::swap(heap[siz],heap[1]);
	siz--;
	int NowNode=1;
	while((NowNode<<1)<=siz)
	{
		int NextNode=NowNode<<1;
		if(NextNode+1<=siz&&heap[NextNode+1].dis<heap[NextNode].dis)
		{
			NextNode++;
		}
		if(heap[NextNode].dis<heap[NowNode].dis)
		{
			Sonoda::swap(heap[NowNode],heap[NextNode]);
			NowNode=NextNode;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
NODE top()
{
	return heap[1];
}
int main()
{
	int N=Sonoda::read<int>();
	int M=Sonoda::read<int>();
	int K=Sonoda::read<int>();
	int S=Sonoda::read<int>();
	int T=Sonoda::read<int>();
	S++;
	T++;
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		int a,b,c;
		a=Sonoda::read<int>();
		b=Sonoda::read<int>();
		c=Sonoda::read<int>();
		a++;
		b++;
		Add_Line(a,b,c);
		Add_Line(b,a,c);
		for(int j=1;j<=K;j++)
		{
			Add_Line(a+(j*N),b+(j*N),c);
			Add_Line(b+(j*N),a+(j*N),c);
			Add_Line(a+(j-1)*N,b+(j)*N,0);
			Add_Line(b+(j-1)*N,a+(j)*N,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=K;i++)
	{
		Add_Line(T+(i-1)*N,T+(i)*N,0);
	}
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	dis[S]=0;
	push({0,S});
	while(siz)
	{
		int NowNode=top().pos;
		pop();
		if(vis[NowNode])
		{
			continue;
		}
		vis[NowNode]=1;
		for(int i=head[NowNode];i;i=edge[i]._next)
		{
			int NextNode=edge[i].to;
			if(dis[NextNode]>dis[NowNode]+edge[i].w)
			{
				dis[NextNode]=dis[NowNode]+edge[i].w;
				push({dis[NextNode],NextNode});
			}
		}
	}
	printf("%d",dis[N*(K)+T]);
	return 0;
}

注意Add_Line的操作要加每个复制的图中的边，每两个相邻复制的图的免费边。

注意终点是最后一个图里的。